Парадокс Банаха-Тарского: как разрезать шар на два таких же

В 1924 году математики Стефан Банах и Альфред Тарский доказали невероятный результат: шар можно разбить на конечное число частей, из которых, перекомпоновав, получить ДВА шара, идентичных исходному.

В чём суть

Шар разбивается на 5 частей. Эти части вращаются и перемещаются без деформации, без дублирования. Но собираются они в два шара того же размера. Объём как бы удваивается.

Почему это возможно

Доказательство опирается на аксиому выбора — спорный постулат теории множеств, который позволяет "выбирать" по одному элементу из бесконечного числа множеств без указания правила выбора. Получающиеся части — неизмеримые, не похожие на обычные геометрические фигуры.

Это не работает в реальности

Банах-Тарский — чистая математика. Реальные физические объекты состоят из атомов — их нельзя бесконечно делить. Теорема возможна только в идеализированной математической модели континуума.

Что она показывает

Наш "здравый смысл" об объёме, подсчётах, разбиениях основан на повседневном опыте. В математике, выходящей за рамки этого опыта, работают другие правила.

Культурное влияние

Банах-Тарский часто упоминается в философских дискуссиях о природе математики. Одни видят в нём доказательство того, что математика оторвана от реальности. Другие — что реальность сложнее, чем кажется.